Fenerbahçe takımı alt yapısında futbol kariyerine adım atan Alpay Çelebi daha sonra Derince A2, Kocaeli Birlikspor takımlarında forma giymiş ve 2015 yılında Beşiktaş alt yapısına transfer olmuştur.
2017 yılında Beşiktaş takımı ile profesyonel sözleşme imzalayan Alpay Çelebi stoper ve sol bek oynamaktadır. 2017 yılının Aralık ayında Beşiktaş takımının Almanya Leipzig ile karşılaştığı Şampiyonlar Ligi mücadelesinde ilk 18 kadrosunda kendisine yer bulmuştur.
1999 doğumlu futbolcu Kocaeli’de dünyaya gelmiş, baba tarafından aslen Erzurumludur. Bir erkek kardeşi ve bir ablası vardır.
